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    [高考数学知识点]解析几何中求参数取值范围的方法(二)

    作者:admin 时间:2014-03-23 09:34

    ??  三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式

      曲线把坐标平面分成三个区域,若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系:若P在曲线上,则f(x0,y0)=0;若P在曲线内,则f(x0,y0)<0;若P在曲线外,则f(x0,y0)>0;可见,平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题。
      例6已知椭圆2x2+y2=a2(a>0)与连结两点A(1,2)、B(2,3)的线段没有公共点,求实数a的取值范围。
      分析:结合点A,B及椭圆位置,可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件。
      解:依题意可知,当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。
      当A、B同时在椭圆内,则
      解得a>17
      当A、B同时在椭圆外,则
      解得0<6

      综上所述,解得0<6或a>17
      例7若抛物线y2=4mx(m≠0)的焦点在圆(x-2m)2+(y-1)2=4的内部,求实数m的取值范围。
      分析:由于焦点(m,0)在圆内部,则把(m,0)代入可得.
      解:∵抛物线的焦点F(m,0)在圆的内部,
      ∴(m-2m)2+(0-1)2<4即m2<3
      又∵m≠0
      ∴-3<0或0<3

        四、利用三角函数的有界性构造不等式
      曲线的参数方程与三角函数有关,因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程,后利用三角函数的有界性构造不等式求解。
      例8若椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y有公共点,求实数a的取值范围。
      分析:利用椭圆的参数方程及抛物线方程,得到实数a与参数θ的关系,再利用三角函数的有界性确定a的取值情况。
      解:设椭圆的参数方程为(θ为参数)
      代入x2=2y得
      4cos2θ=2(a+sinθ)
      ∴a=2cos2θ-sinθ=-2(sinθ+14)2+178
      又∵-1≤sinθ≤1,∴-1≤a≤178
      例9已知圆C:x2+(y-1)2=1上的点P(m,n),使得不等式m+n+c≥0恒成立,求实数c的取值范围
      分析:把圆方程变为参数方程,利用三角函数的有界性,确定m+n的取值情况,再确定c的取值范围。
      解:∵点P在圆上,∴m=cosβ,n=1+sinβ(β为参数)
      ∵m+n=cosβ+1+sinβ=2sin(β+π4)+1
      ∴m+n最小值为1-2,
      ∴-(m+n)最大值为2-1
      又∵要使得不等式c≥-(m+n)恒成立
      ∴c≥2-1
      五、利用离心率构造不等式
      我们知道,椭圆离心率e∈(0,1),抛物线离心率e=1,双曲线离心率e>1,因而可利用这些特点来构造相关不等式求解。
      例10已知双曲线x2-3y2=3的右焦点为F,右准线为L,直线y=kx+3通过以F为焦点,L为相应准线的椭圆中心,求实数k的取值范围.
      分析:由于椭圆中心不在原点,故先设椭圆中心,再找出椭圆中各量的关系,再利用椭圆离心率0<1,建立相关不等式关系求解.

      解:依题意得F的坐标为(2,0),L:x=32
      设椭圆中心为(m,0),则m-2=c和m-32=a2c
      两式相除得:m-2m-32=c2a2=e2
      ∵0<1,∴0<1,解得m>2,
      又∵当椭圆中心(m,0)在直线y=kx+3上,
      ∴0=km+3,即m=-3k,
      ∴-3k>2,解得-32<0

      上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法,希望通过以上的介绍,能让同学们了解这类问题的常用求法,并能认真体会、理解掌握,在以后的学习过程中能够灵活运用。
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